Permütasyon Nedir, Nasıl Hesaplanır? Matematikte Permütasyon Soruları Nasıl Çözülür?

Temel matematik eğitimi alan her insan eğitim hayatında bir dönem permütasyon sorularıyla karşılaşmıştır. Hatta bu konu üniversite sınavlarında da soru niteliği olarak çeşitlilik kazanmış ve karşımıza sıklıkla çıkar hale gelmiştir. Dolayısıyla özellikle de öğrencilerin permütasyon sorularını öğrenmeleri gereklilik olmuştur.

Permütasyon Nedir?

Her sembolün yalnızca bir ya da birkaç kez kullanıldığı sıralı bir diziye matematik biliminde permütasyon denmektedir.

Matematik biliminde permütasyon konusunun belirli özellikleri de yer almaktadır. Bu özelliklere ve formüllere göre permütasyon soruları çözülmektedir.

1 den 10 sayısına kadar doğal sayıları içeren n elemanlı bir küme düşünelim. Bu küme r=4 olarak alınırsa permütasyonların sayısı, sırayı gözetmek şartıyla ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) oluşturulabilecek dört farklı elemanlı kümelerin sayılarını ifade etmektedir.

Permütasyon Nasıl Hesaplanır?

Permütasyonun hesaplanmasında kombinasyondan farklı olarak sıralama özelliği çok önemlidir. Permütasyonu permütasyon yapan özellik tanımından da anlayabileceğimiz gibi sıralı bir dizide olmasıdır.

Permütasyon bilgisayarlarla hesaplama seçeneğinde de kullanılmaktadır. Bu seçenek daha çok web dünyasında programlama dillerinde kullanılmaktadır. Bunun haricinde bir de tekrarlı ve tekrarsız olarak permütasyon hesaplama şekilleri bulunmaktadır.

Öncelikle tekrarsız permütasyonun hesaplanmasına bakalım. Bu seçenekte her eleman yalnızca bir kez kullanılmaktadır.

n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı tekrarsız permütasyonların toplamı n ≥ r olması koşuluyla formülle gerçekleştirilir.

Formül şöyledir; P ( n,r ) = ( {n} n-r ) = n! / ( n-r ) !

Örneğin 5 adet deve hayvanının katıldığı bir yarışta seçilen 3 yarış devenin sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü gelme olasılığı hesaplanmak isteniyorsa bu formülden yararlanılır. Çünkü bir devenin aynı yarışta iki kez birinci gelme olasılığı mümkün değildir.

P ( 5,3 ) = ( {5} 5-3 ) = 5! / ( 5-3 ) ! işleminin sonucu 60 çıkmaktadır. Bu durumda istenen sıralamanın doğru olma olasılığı 1/60 olmaktadır.

Tekrarlı permütasyonda ise hesaplama, n üssü r formülüyle ifade edilmektedir. Bu formül genelde şifre hesaplamak için kullanılmaktadır. 3 haneli bir kasanın şifresinin permütasyonunu hesaplamak için 0 ile 9 arası 10 rakam olduğu bilinir. O halde toplam şifre sayısı 10X10X10 = 10 üssü 3 olarak 1000 rakamını verecektir. Bu kasanın şifre kilidini açma olasılığı 1/1000 olarak bulunur.

Matematikte Permütasyon Soruları Nasıl Çözülür?

Matematikte permütasyon soruları yukarıda verdiğimiz tekrarlı ve tekrarsız permütasyon olarak sorunun içeriğine bağlı iki formül kullanılarak çözülmektedir. Bu formüllerden birincisi tekrarlı permütasyon formülü ikincisi ise tekrarsız permütasyon formülüdür.

Soru çözümü örneklerle çok daha iyi anlaşılacaktır. Örneğin üç bireyin iki kişilik bir yere kaç farklı şekilde oturacağını formüllerden yararlanarak bulalım. Çözümde A= { a, b, c } olarak verelim. P ( 3,2 ) = 3! bölme işareti / ( 3-2 )! = 3! olarak çıkacaktır. 3! ise bize 6 farklı şekilde oturulabileceğini göstermektedir.

Daha kolay bir soruya bakmak gerekirse 5 öğrencinin 5 kişilik bir sıraya kaç farklı şekilde oturacağı 5 elemanlı bir kümenin 5 li permütasyonlarının sayısı kadar olacaktır. Dolayısıyla P ( 5,5 )= 5! formülüne dayanarak 120 değişik şekilde oturacağı bulunmaktadır.

Bir diğer değişik permütasyon sorusunda P ( 5,3 ) bölme işareti / P ( 6,2 ) ifadesinin eşiti sorulabilir. Bu durumda sorunun cevabı 5.4.3 bölme işareti / 6.5 olacaktır. 5 rakamları birbirini götürür. 12/6 olarak sorunun cevabı 2 çıkmaktadır.