Pascal Üçgeni Nedir Ve Özellikleri Nelerdir? Pascal Üçgeni Formülü Ve Binom Açılımı Konu Anlatımı

Pascal Üçgeni bir tür sayı kalıbıdır. Pascal Üçgeni, herhangi bir iki terimli ifadenin açılımındaki katsayıları veren sayıların üçgen şeklinde düzenlenmesidir. 

 Pascal Üçgeni Nedir? 

 Pascal Üçgeni bir sayı kalıp türü olarak bilinir. Rakamlar üçgen şeklinde yansıyacak şekilde düzenlenmiştir. İlk olarak en üste 1 yerleştiriyoruz ve ardından sayıları üçgen şeklinde yerleştirmeye başlıyoruz. Her adımda elde ettiğimiz sayılar, yukarıdaki iki sayının toplamıdır. Üçgen sayılar kavramına benzer. 

 Üçgeni oluşturmanın en kolay yolu sıfırdan başlamak ve sadece bir numarayı yazmaktır. Oradan, aşağıdaki satırlardaki sayıları elde etmek için, sayının hemen üstündeki ve solundaki sayıyı, üstündeki sayıyla ve sağındaki sayıyı eklemek gerekir. Sol veya sağ tarafta herhangi bir sayı yoksa eksik olan sayı sıfırlanır ve toplama işlemine devam edilir. 

 Pascal üçgeni çeşitli olasılık koşullarında kullanılabilir. Diyelim ki parayı bir kez atıyorsak, sonuç almak için sadece iki olasılık vardır. Yazı ya da Tura'dır. Eğer iki kez atarsak, o zaman hem yazı hem tura gelmesinin bir olasılığı vardır, ancak en az Yazı veya Tura almanın iki olasılığı vardır. 

 https://i.hizliresim.com/9ahlcw8.png 

 Pascal'ın Üçgen Modelleri; 

 Satırların Toplanması: Üçgenin ilginç özelliklerinden biri, bir satırdaki sayıların toplamının 2 n'ye eşit olmasıdır. n, satırın sayısına karşılık gelir: 

 1 = 1 = 2 (0)

 1 + 1 = 2 = 2 (1)

 1 + 2 + 1 = 4 = 2 (2)

 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 (3)

 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 (4) 

 Üçgendeki Asal Sayılar: Üçgende görülen bir diğer örüntü asal sayılarla ilgilidir. Bir satır bir asal sayı ile başlıyorsa veya asal numaralı bir satır ise, o satırdaki tüm sayılar (1'ler hariç) o asal sayıya bölünür. 5. satıra (1 5 10 10 51) bakarsak, 5 ve 10'un 5'e bölünebildiğini görebiliriz. Ancak, 8. satır gibi bileşik numaralı bir satır için (18 28 56 70 56 28 8 1), 28 ve 70 8'e tam bölünemez. 

 Üçgende Fibonacci Dizisi: Pascal üçgeninin köşegenlerindeki sayılar toplanarak Fibonacci dizisi elde edilebilir. Fibonacci sayılarını Pascal üçgeninde göstermenin çeşitli yolları vardır. R. Knott, Pascal üçgeninde "satırların" toplamı olarak görünen Fibonacci'yi bulabildi. Tüm satırları tek bir yere taşıdı ve burada sütunların toplamı Fibonacci sayılarını temsil edecekti. 

 Pascal Üçgeni Özellikleri Nelerdir? 

Her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır. 

Dış sayıların hepsi 1'dir. 

Üçgen simetriktir. 

İlk köşegen sayma sayılarını gösterir. 

Satırların toplamı 2'nin kuvvetlerini verir. 

Her satır 11'in kuvvetlerinin rakamlarını verir. 

Fibonacci sayıları köşegenler boyunca oradadır. 

 Pascal Üçgeni Formülü ce Binom Açılımı Nedir? 

 Pascal üçgeninin n. satırı ve k. sütunundaki bir elemanın girişini bulma formülü şu şekilde verilir; 

 https://i.hizliresim.com/sb94xkv.png 

 Aşağıdaki satır ve sütunların öğeleri, aşağıda verilen formül kullanılarak bulunabilir. 

 https://i.hizliresim.com/d79eo2m.png 

 Burada n, negatif olmayan herhangi bir tam sayıdır ve 0 ≤ k ≤ n'dir. 

 Yukarıdaki gösterim şu şekilde yazılabilir; 

 https://i.hizliresim.com/ptf7z80.png 

 Bu binom katsayıları elde etme modeline Pascal kuralı denir. Pascal üçgeni, binom açılımlarında görünen katsayıları tanımlar. Bu, Pascal üçgeninin n. satırının, (x + y) n polinomunun genişletilmiş ifadesinin katsayılarını içerdiği anlamına gelir; 

 https://i.hizliresim.com/jrvkdn9.png 

 Burada a k formunun katsayıları tam olarak Pascal üçgeninin n'inci satırındaki sayılardır. Bu şu şekilde ifade edilebilir; 

 https://i.hizliresim.com/2hv8y81.png 

 Burada 1, 3, 3, 1 katsayıları pascal üçgeninin 3. satırındaki öğeleri temsil eder. 

 Bu üçgen, Pascal'ın matematiğe katkılarının çoğu arasındaydı. Ayrıca geometride önemli teoremler buldu, olasılık ve hesabın temellerini keşfetti ve ayrıca Pascaline hesap makinesini icat etti. Yine de, en çok Pascal üçgenine katkılarıyla tanınır.