Kalkülüsün temel teoremi nedir? Kalkülüsün temel teoremi formülü ve örnekleri ile konu anlatımı

 Ortalama değer teoremini gündelik örneklerle açıklamak çok daha kolaydır. Bu nedenle genellikle örnekleme yöntemi ile konuların pekiştirilmesi sağlanır. 

 Kalkülüsün Temel Teoremi Nedir? 

 Kalkülüsün temel teoremi, bir eğri üzerinde alınan bir aralıkta, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren bir doğruya paralel olan, fonksiyonun en az bir teğet doğrusu (tanjant doğrusu) olduğunu ifade eder. Bu teorem, özellikle de nümerik analiz alanında, uygulanan metodun çalışması için gerekli şartları belirtmek için sıkça kullanılır. 

 Kalkülüsün Temel Teoremi Formülü ve Örnekleri ile Konu Anlatımı 

 Ortalama değer teoremini, gündelik bir örnekle açıklamak çok daha kolaydır. Bir araçta olduğunuzu ve uzun bir yolculuğa çıktığınızı düşünerek bu teoremi anlamaya çalışmaya başlayabilirsiniz. Yolculuk boyunca aracınız sürekli olarak hızlanacak ve yavaşlayacaktır. Dolayısıyla zaman içinde farklı hız değerlerine sahip olabilirsiniz. Ama bir saatin sonunda eğer 50 kilometre yol aldıysanız, ortalama değer teoremi, yolculuk sırasında en az bir defa saatte 50 kilometre hıza ulaşmış olduğunuzu gösterir. Matematiksel olarak [a, b] aralığında yer alan bir eğri için ortalama türev, fonksiyonun en uç noktalarını birleştiren bir doğrudur. Yani f (a) ve f (b) arasında çizilen doğru, ortalama bir değişimi gösterir. 

 Teoremin bize gösterdiği şey ise, bu eğrinin en az bir teğet doğrusunun yani (tanjantının), bu doğruya paralel olması gerektiğidir. Burada matematiksel olarak, teğet olan bu noktanın yatay eksendeki değeri c‘nin (a,b) aralığına düşmesi gerektiği ortaya çıkar. Bu da, kullanacağımız teoremlerde belirlediğimiz bir aralık içinde istenen bir değerin, bu aralıkta kalmasını sağlayan koşulu bize sunar. Burada fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olması gerektiğini unutmamanız gerekir. 

 Eğer belirli bir aralıkta fonksiyon sürekli değilse o aralıkta bu değere en az bir defa ulaşacağın garanti verilemez. Daha teknik bir ifade ile ortalama değer teoremi, eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında olan sürekli bir fonksiyonsa ve (a,b) açık aralığında diferansiyellenebiliyorsa; o durumda (a,b) açık aralığında bir c noktası vardır ve c noktasının tanjantı, (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarının sekant doğrusuna da paraleldir. 

 Ortalama Değer Teoreminin Matematiksel İfadesi 

 Eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ve a < b olduğu (a,b) açık aralığında ise diferansiyellenebilir bir fonksiyon ise, (a,b) açık aralığında aşağıda yer alan koşulu sağlayan bir c değeri bulunur. Burada eşitliğin sağındaki ifade, bizim sekant doğrumuzu ifade eder (doğrunun eğimini). Aynı zamanda f(b) - f(a) ifadesi dikey eksende yer alan değişim olan Δy‘dir. b - a ifadesi ise, yatay eksendeki değişim olarak bilinen Δx‘dir. Bu sayede, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğru denklemini de bulmuş oluruz. 

 Teoremin bize gösterdiği şey ise, bu doğruya paralel, bu aralıkta tanımlı olan en az bir tane teğet (tanjant) doğrusu olması gerektiği gerçeğidir. Bir fonksiyonun o noktasında bulunan teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türevi olarak tanımlandığı için (a,b) aralığında yer alan bu c noktası için, eşitlik sağlanır. (f'(x) değeri (x,f(x)) noktasındaki teğetin eğimini gösterir.) Ortalama değer teoremi, verilen aralıkta, kiriş doğrusuna paralel olan en az bir tane teğet doğrusu olması gerektiğini gösterir. Ama bunun kaç tane olduğu ile ilgili bir şey söylemez.