Binom açılımı nedir? Binom açılımı formülü ve örnekleri ile konu anlatımı

Binom Genişleme Teoremi, bir binomun kuvvetlerinin cebirsel genişlemesini tanımlayan bir cebir formülüdür. 

 Binom Açılımı Nedir? 

 Binom Açılımı, herhangi bir sonlu güce yükseltilmiş bir ifadeyi genişletme yöntemidir. Binom Teoremi, Cebir, olasılık vb. alanlarda uygulaması olan güçlü bir genişleme aracıdır. 

 Binom İfadesi: İki terimli ifade, birbirine benzemeyen iki terim içeren cebirsel bir ifadedir. Örneğin; 

 a + b, a(üssü)3 + b(üssü)3 gibi... 

 Binom Genişleme Formülü veya Binom Teoremi; 

 https://i.hizliresim.com/my5pt11.png 

 Terim dizisinde, r indisi ardışık 0, 1, 2,…, n değerlerini alır . Binom katsayıları olarak adlandırılan katsayılar, formülle tanımlanır. 

 Binom Genişletme; 

 Hatırlanması gereken önemli noktalar; 

(x+y) n'nin açılımındaki toplam terim sayısı (n+1) 

x ve y'nin üstlerinin toplamı her zaman n'dir. 

nC 0 , nC 1 , nC 2 , ... .., nC , n binom katsayılarıdır ve C ile temsil edilmektedir 0 , C 1 , C 2 , ... .., Cı- n 

Baştan ve sondan eşit uzaklıkta olan binom katsayıları eşittir, yani nC 0 = nC n , nC 1 = nC n-1 , nC 2 = nC n-2 ,….. vb. 

Binom katsayılarını bulmak için Pascal Üçgenini de kullanabiliriz. Pascal üçgeninin iç kısmındaki her giriş, üstündeki iki girişin toplamıdır. Böylece, ( a + b ) n'nin kuvvetleri 1'dir. Binom açılımında genellikle orta terimi veya genel terimi bulması istenir. Burada kapsanan iki terimli genişlemedeki farklı terimler şunları içerir;

Genel ifade 

Orta vadeli 

Bağımsız Dönem 

Belirli Bir Terimin Belirlenmesi 

Sayısal olarak en büyük terim 

Ardışık Terimlerin/Katsayıların Oranı 

Binom Katsayılarının Özellikleri 

 Binom katsayıları, binom teoremindeki katsayılar olan tam sayıları ifade eder. Binom katsayılarının en önemli özelliklerinden bazıları; 

Cı- 0 + C 1 + C 2 + ... + C , n = 2 , n 

C 0 + C 2 + C 4 + … = C 1 + C 3 + C 5 + … = 2 n-1 

C 0 – C 1 + C 2 – C 3 + … +(−1) n . nC n = 0 

nC 1 + 2.nC 2 + 3.nC 3 + … + n.nC n = n.2 n-1 

C 1 − 2C 2 + 3C 3 − 4C 4 + … +(−1) n-1 C n = 0 n > 1 için 

C 0 2 + C 1 2 + C 2 2 + …C n 2 = [(2n)!/ (n!) 2 ] 

 Binom açılımında Genel Terim; 

(x + y) n = nC 0 x n + nC 1 x n-1 var . y + nC 2 x n-2 . y 2 + … + nC n y n

 Genel Terim = T r+1 = nC r x n-r . y r

 Genel Terim (1 + x) n , nC r x r'dir

 (X + y) binom genleşme n , r inci (- r + 2n) ucundan terimdir. 

(x+y) n'nin açılımında Orta Dönem(S) . n 

 n çift ise (n/2 + 1) Terim orta terimdir.

 Eğer n tek ise [(n+1)/2] inci ve [(n+3)/2) inci terimler ortadaki terimlerdir. 

 Binom teoreminin kalanını bulma, bir sayının basamaklarını bulma gibi Matematikte geniş bir uygulama alanı vardır. En yaygın binom teoremi uygulamaları şunlardır; 

Binom teoremini kullanarak kalanı bulma 

Bir sayının rakamlarını bulma 

İki sayı arasındaki ilişki 

Bölünebilirlik testi 

Rasyonel indeks için binom teoremi 

Negatif indeks için binom teoremi 

Çok terimli teoremi'dir.