Aritmetik dizinin ilk n terimi toplamı formülü ve örnekleri ile konu anlatımı

 Aritmetik dizi formülü, bir aritmetik dizinin n'inci terimini hesaplamak için kullanılır. Hatırlamak gerekirse, bir dizi sıralı bir sayı listesidir.

Aritmetik Dizinin İlk n Terimi Toplamı Formülü 

 Bir dizinin terimlerinin toplamına dizi denir. Bir aritmetik dizi veya aritmetik ilerleme, her terimin bir önceki terime veya değerine ortak bir sayı eklenerek veya çıkarılarak oluşturulduğu veya elde edildiği bir dizidir. Başka bir deyişle, aritmetik dizideki bitişik terimler arasındaki fark aynıdır. 

 https://www.hizliresim.com/sx973lb 

a n = bulunması gereken n'inci terim 

Bir 1 = 1 st sırayla terimi 

n = Terim sayısı 

d = Ortak fark 

S n = n terimin toplamı 

 Bir dizideki n terimin toplamı ancak dizinin türünü biliyorsak değerlendirilebilir. Genellikle, n sayıda terimin toplamını hesaplarken aritmetik ilerlemeyi dikkate alırız. Bu ilerlemede, birbirini izleyen her terim ile önceki her terim arasındaki ortak fark sabittir. AP'ye bir örnek, ortak farkın 1 olduğu doğal sayılardır. Bu nedenle, doğal sayıların toplamını bulmak için formülü bilmemiz gerekir. 

 AP'nin n teriminin toplamı, aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamıdır(toplanması). n'ye bölünür, birinci terimin iki katının toplamının 2 katına eşittir – 'a' ve ikinci ve birinci terim arasındaki farkın ürünü-'d' aynı zamanda ortak fark olarak da bilinir ve (n-1), burada n eklenecek terim sayısıdır. 

 Örneğin; 

 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ……….625, 25'e kadar olan doğal sayıların kareleri dizisini temsil eder.

 3, 7, 11, 15, 19,………..87, terimlerin her birinin bir önceki terimi 4 kat aştığı başka bir dizi oluşturur.

 Bir dizinin ilki dışındaki tüm terimleri bir önceki terimi sabit bir sayı ile aşarsa, o zaman diziye aritmetik dizi denir. a sonlu bir AP'nin ilk terimi ve d ortak bir fark ise, AP - a, a+d, a+2d, ………, a+(n-1)d olarak yazılır. 

 Not: Bir AP'deki n terimin toplamını elde etmek için bir formülün nasıl türetileceğini öğrenmeden önce şu etkinliği deneyin. 

 Kare Serilerin Toplamı

 1 üssü 2 + 2 üssü 2 + 3 üssü 2 + 4 üssü 2 + ………. + n üssü 2

 Bu aritmetik dizi, n tane doğal sayının karelerinin toplamını temsil eder. Bunu kanıtlamak için p 3 – (p – 1) 3 = 3p 2 – 3p + 1 özdeşliğini ele alalım. Bu özdeşliğe p = 1, 2, 3… koyalım. 

 https://i.hizliresim.com/s6e9dp4.png

  Denklemin her iki tarafını da toplarsak,

  https://i.hizliresim.com/ilqwoej.png

  n doğal sayının toplamını zaten şu şekilde;

  https://i.hizliresim.com/64xuihx.png

  Bu değeri n denkleminin (5) yerine koyarsak, şunu elde ederiz; 

 https://i.hizliresim.com/me6kwlg.png 

 n terimin Karelerinin Toplamı = [n(n+1)(2n+1)]/6 

Kübik Serilerin Toplamı 

 1 üssü 3 + 2 üssü 3 + 3 üssü 3 + 4 üssü 3 + ………. + n üssü 3

 Bu aritmetik dizi, n doğal sayının küplerinin toplamını temsil eder. Bunu kanıtlamak için (p + 1) 4 – p 4 =4p 3 + 6p 2 + 4p + 1 özdeşliğini ele alalım. Bu özdeşliğe p = 1, 2, 3… koyalım. 

 https://i.hizliresim.com/jcuyvvz.png 

 Denklemin her iki tarafını da toplarsak, 

 https://i.hizliresim.com/ddc2cn4.png 

 n tane doğal sayının toplamını ve n tane doğal sayının karelerinin toplamını şu şekilde; 

 https://i.hizliresim.com/klnxvqg.png 

 Bu değerleri denklem (5)'te yerine koyarak ve sadeleştirerek, 

 https://i.hizliresim.com/frf3baj.png 

 Bu nedenle, n terimin küp toplamı; 

 S = [n(n+1)/2] 2